本文摘自圓神書活網《心中有數，腳下有路：用數學思維解讀世界、解決生活中的難題》未經同意請勿轉載、摘編
用日常與數學豐富你的世界觀
你是否曾經讀完一本書後，非但不排斥再度翻開它，且每次閱讀都有新鮮的體悟與啟發？《心中有數，腳下有路》就是這樣一本相當值得被收藏的科普書。 我相信，多數人都承認數學的重要性，同時也可能認為數學是抽象且難以理解的，尤其是高中之後的數學。若你身處於這時期，為了解題與取得高分，「背起來」是一個辦法，但這通常不是一個有趣的做法。與之相對，若能透過貼近生活的簡單故事，以此幫助我們深入賞析數學的應用會有趣得多，本書就是如此。書中融合了許多引人深思的故事，以它們為線索，串連起各種往往難以解釋的複雜而深奧的數學概念，使得整個閱讀過程不僅有趣，更從中不斷發現和產生新的想法，獲益良多。
透過本書的詮釋，諸如「最小平方法」「摺積」、「基本機率」、「稀疏性」、「矩陣」、「奇異值」等術語，突然就變得有趣，還會萌生一種「原來可以這樣理解」的驚喜感，能相當程度啟發好奇心，更鼓勵進一步探索和學習更多。我自己在上課時就引用了不少書中提到的，例如電鍋的自動斷電是如何設計的，這些令人難忘且相當實用的趣味故事。藉由這種深入淺出地詮釋方式，即便是對數學感到陌生或害怕的人也能進一步理解它們的意義，學會重要的數學概念。
數學家約翰．馮紐曼告訴我們：「若人們不相信數學簡單，只因他們未意識到生命之複雜。」看似模糊與複雜的概念，也可能具有相對簡單的本質。拓撲學即是一個不錯的例子，可以用來解釋這段話。因為在拓撲學裡，數學家們判定咖啡杯和甜甜圈是一樣的東西。原因相當簡單—它們都有一個洞。本質上，數學是一個非常有趣且應用廣泛的學科，而且能在生活的各個面向被落實。只不過，有太多的術語、觀念與生活間的連結過於薄弱，而使數學與現實的距離遙遠，就像拓撲學。若想讓更多人感受數學的魅力，就需要更多的把數學術語與生活做連結，藉此打破隔閡，讓人們能輕鬆理解看似複雜卻與生活息息相關的數學概念。
簡言之，這是一本使數學變得有趣且鼓勵深入思考，以此開闊新視角的書。作者巧妙運用日常故事和經典案例來解釋數學概念，使其易於理解，同時也顯示了數學在生活中對於趨勢預測的重要性。我認為，這是一本能引起共鳴，以及給予我們編織新想法的書。退一步說，就算你無法在讀完本書就立刻掌握裡頭探討的理論和觀念，但我相信你至少將會對這些理論和觀念產生好感與樂趣。
機率的世界觀：靠努力提高成功機運
我上大學時學的是自動控制專業。了解這個專業的人也許知道，自動控制專業的基礎課程覆蓋很廣，涉及很多學科，內容多而雜。一次和數學相關的基礎課上的經歷讓我至今記憶猶新。
上課鈴聲一響起，老師就認真地從頭開始在黑板上推導一個公式。這個公式比較複雜，老師用了整整兩節課的時間，推導過程寫滿了幾個黑板；下課時，卻發現最後的結論和書上的不一樣。老師跟我們說：「同學們別著急，下次上課我再給大家重新推導一遍。」 這一經歷可能並不多見，但是一些大學生或許會有這種感受：拿到一本教科書，上面的每個公式都有密密麻麻、嚴謹的推導過程，一眼看上去令人生畏。為了看懂這道公式，你硬著頭皮仔細研讀每一步過程，然後自己拿筆試著推導好幾遍，直到最終將公式導出來才感到心安。你會想：「我已經把這個公式推導出來了，應該理解這個概念了。」你的心裡除了湧現挫折感外，應該還會不時浮現一個個疑問：「這道公式到底有什麼用？它能幫助我解決生活中的什麼問題？」最後甚至冒出這麼一個念頭：「我真的理解這個概念嗎？」 很可惜，在大多數時候，我們都無法找到上面這些問題的答案。
於是成功推導出公式除了能讓我們通過考試外，只給我們帶來了「我應該理解了這個概念」的安慰。大部分人會一直帶著這些未被解答的疑惑，在考完試之後馬上就把這些數學公式忘得乾乾淨淨。 有的人認為，數學是數學，生活是生活。數學的概念只是那些書本上的公式，這些公式屬於數學家，和自己沒有任何關係。就像朱自清在〈荷塘月色〉裡寫的那句話：「但熱鬧是它們的，我什麼也沒有。」 如果我告訴你，很多數學概念的背後都閃耀著智慧的光芒，這些智慧能幫我們更好地看清這個繁雜的社會，並且能幫助我們在生活中做出更好的決策和行為，你相信嗎？ 也許你會質疑：「什麼，數學公式還能幫我們解決生活問題？你不是在開玩笑吧。」
如果你有這種疑問，也許下面「最小平方法」、「病態方程組」等案例，會讓你改變對數學的看法。 數學中有一種演算法叫作「最小平方法」。數學家高斯曾經用最小平方法準確預測出一顆行星的位置。但是如果你只是背下最小平方法的估計式x=（ATA）–1ATb，或只會套用這個估計式來解一些書本上的問題，那麼你就沒有體會到最小平方估計背後的智慧。
透過最小平方估計找到的解，不力求讓少數方程式完全成立，而是讓所有方程式左右兩邊的誤差之和最小，它背後體現出來的思想，是做事情不追求絕對完美，而是在接受不完美的前提下權衡多方利益，找到最佳平衡點。這其實和孔子推崇的「中庸之道」或「執兩用中」的智慧不謀而合。 又比如，在數學中，有「微分法」和「數值演算法」這兩種解法，它們實際上對應我們生活中解決問題的兩種思路。用「微分法」來找到函數的極限，可以分為三步：（1）函數微分，（2）令導數為零，（3）找到該方程式的解。每一步都不能出錯，最終才可以得到答案。
這種模式對應一個成語：「步步為營」。它要求每一步都力求完美，把整個流程走完才能得到想要的結果。「數值演算法」則對應另外一個成語：「精益求精」。它並不要求在每一步做到最好，而是迅速走完一輪，然後在本輪結果的基礎上疊代，反覆多輪，不斷提高，最後也可以得到一個好結果。「精益求精」模式不僅與產品開發、專案管理中的「敏捷模型」相對應，也與互聯網公司經常說的「小步快跑，快速疊代」相對應，意指「完成比完美更重要」。
又比如，在線性代數中，有一個概念叫作「病態方程組」，即一個線性方程組（聯立方程式）y=Ax中y和A的輕微變化會導致解x有極大變化。但如果你只知道病態方程組這個概念，就錯過了這個概念背後的智慧：方程組中的每條直線，實際上代表一個視角，而直線的交點，就是從多個視角達成的共識。病態函數這個例子告訴我們，如果多個人想透過交流的方式達成共識，了解某個事情背後的真相，那麼這些人最好有不同的視角。一旦視角太接近，那麼這些不同視角交叉得到的共識，會對雜訊極為敏感。一點點雜訊，都會對最後的結果產生極大的影響，這就是所謂的「失之毫釐，差之千里」，也是「多樣性紅利」的數學解釋。
在電腦科學中，有一個演算法叫作「模擬退火演算法」。模擬退火演算法可以幫助我們透過逐步疊代，找到某一個函數的最優解。如果你只會簡單地應用這個演算法來解決函數的極限值問題，就錯過了這個演算法背後閃耀的智慧。
在我看來，人生其實就是一個尋找最優解的過程，我們總是透過不斷努力提升自己，在最後達到自己可能達成的最高位置。而模擬退火演算法告訴我們，一個人在年輕的時候，應該讓自己充分探索，接受暫時的不完美，從而避免陷入局部的最優值，並在將來攀上一個更高的山峰。而到了一定階段，知道自己最適合什麼以後，就應該在自己最適合的地方深耕，不要輕易切換賽道。所以，一個大學生畢業之後，就應該去大城市闖一闖，多嘗試一些行業，而不是老老實實待在一個一眼就能看到未來的職位上一輩子。 以上的幾個例子，就是數學公式和演算法背後的智慧。這些智慧能幫助我們更好地看清這個世界，並在你遇到問題的時候，提供你更科學的視角，讓你做出更好的決策和行為。
如果你是一名理工科的在校或已畢業的大學生，這本書一定適合你。尤其是資訊科學系、電子工程學系和自動控制學系的學生，看到你在書本上曾經學到、似曾相識的這些數學公式背後竟然包含那麼深刻而智慧的道理，你就可以立刻理解它們。它們會成為烙印在你大腦裡的思維方式，而不只是停留在書本上的數學公式。 如果你是一名從沒接觸過這些數學公式的文科生，這本書也同樣適合你。透過這本書，你不再會被那些看似「勸退」的數學公式「嚇倒」。你會藉由這些公式和演算法，直接理解它們背後閃耀的理性思維。作為一名文科生，如果你能掌握這些思維，它會立刻幫你打開一扇新世界的窗戶，在你困惑和迷惘時，從另外一個視角提供你啟示，讓你能更加深刻地看待問題，甚至能改變你的人生觀和做事態度。 例如，我們從小被教育的世界觀是「事在人為」。
然而，有這種世界觀的人雖然通常樂觀而積極，卻容易因現實中的挫折與打擊而產生無力感。有的人的世界觀則是另外一頭的「宿命論」：一切都是確定的，一切都是最好的安排。然而，在我看來，正確的世界觀，應該介於兩者之間，叫作機率的世界觀。機率的世界觀的核心思想很簡單：很多事情的最終結果是我們不能保證的，但是，這個結果發生的機率是我們可以靠努力改變的。
夾娃娃機的致勝要訣：大數法則
在開篇前，我要特別強調一點：賭博的危害很大，切勿沉迷。本書中僅用此例討論機率與演算法。 本章將從數學的角度來談談賭場莊家如何從賭客手中不斷賺錢。當你明白了這個道理，就會明白為什麼沉迷賭博的人最終總會傾家蕩產。此外，我們還會介紹一些從中得到的啟示。
賭場的遊戲是由賭場莊家設計的，在設計每一個賭局時，一定會在機率上讓莊家比普通玩家多占一點優勢。 我們以輪盤為例（見圖12-1）。輪盤賭博的玩法十分簡單：一個轉盤被分為38格，由玩家猜測射入轉盤的小球停在哪個格子，猜對了，賭場通常會以35：1的比率賠錢給玩家。也就是說，你押1元，如果押對了，那麼你不僅拿回這1元，而且莊家還會再給你35元；如果押錯了，你就損失了你押的1元。 因為有38個格子，所以玩家猜中小球落在哪個格子裡的機率是1/38。機率是一個數學概念，為了詳細說明「1/38」的機率到底是什麼意思，我們假設一個玩家玩了非常多次遊戲，然後對他的猜測結果是否正確進行統計。
因為玩家每次要麼猜「對」，要麼猜「錯」，所以我們直接把玩家每次的「對錯」進行排列，那麼最後可能是這樣的： 錯對錯錯錯錯對錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯對錯對錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯對錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯錯……
這些結果可能也只是一部分，如果玩家玩的次數足夠多（例如1萬次），統計這1萬次中「對」的次數占所有次數的比例，就會發現它非常接近1/38。也就是10000×1/38≈263（次）。這就是「1/38」這一機率的實際含義。 注意，上面的方法實際上統計了猜「對」的頻率。也就是說，在次數夠多的情況下，「出現某一個結果的頻率」等於「該結果的機率」。 在統計學中，有個名為「大數法則」的詞彙解釋了這一現象。大數法則是統計學的基石，它是指只要一件事情發生的次數夠多，出現某一個結果的頻率就會等於其機率。 我們注意到，大數法則的成立需要滿足「發生的次數夠多」此一條件。只有發生的次數夠多，統計出來的頻率才會等於機率；並且發生的次數越多，統計出來的頻率越接近機率。 來看一下玩家在玩的次數夠多的情況下的收益情況。假設他每次押1元，押了1萬次，那麼根據機率，他猜對的次數應該非常接近263次。由於每猜中一次會得到36元，所以他猜一萬次的收益大致為263×36=9468（元）。
但因為他一共投入了1萬元，所以算下來他虧了大約500元。 注意，500元雖然不多，卻是穩定的虧損。因為只要玩的次數夠多，猜對的頻率就會非常接近1/38。這個機率下，每玩一局下注1元，只有1/38的機率可以拿回36元，因此平均每局要虧：
1-36/38=1/19（元）
這就是「久賭必輸」的數學原理。
我們可以看出，在設計遊戲時，莊家總會讓自己的獲勝機率比玩家高一點。這個優勢通常很小，為5~10%。但是不要小瞧這一點點機率優勢。莊家在有這一點機率優勢的前提下，讓投注的次數變多。這樣一來，根據大數法則，莊家就可以穩定地賺錢了。 有人可能會問，我投注的次數並不多，為什麼大數法則還是能發揮作用呢？注意，雖然每個人投注的次數不多，可是到賭場投注的人很多；莊家不是和你一個人賭，而是和所有到賭場投注的人賭，所以在機率方面，所有人的投注都會被計算在內。這些投注次數加在一起，當然足以讓大數法則實現了。
因此我們可以知道，賭場最歡迎的，就是那些經常去玩的玩家。此外，賭場還會想方設法地增加投注次數。
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